Ее величиной и. Что такое величина? Основные свойства величины

Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу .

Иногда возражают против широкого применения слова «размер», утверждая, что оно относится только к длине. Однако заметим, что каждое тело обладает определенной массой, вследствие чего тела можно различать по их массе, т.е. по размеру интересующей нас физической величи­ны (массы). Рассматривая предметы А иВ, можно, например, утверждать, что по длине или размеру длины они отличаются друг от друга (например,А > В). Более точная оценка может быть получена лишь после измерений длины этих предметов.

Часто в словосочетании «размер величины» слово «размер» опускают или за­меняют его на словосочетание «значение величины».

В машиностроении широко применяют термин «размер», подразумевая под ним значение физической величины - длины, свойственной какой-либо детали. Это значит, что для выражения одного понятия «значение физической величины» приме­няются два термина («размер» и «значение»), что не может способствовать упорядоче­нию терминологии. Строго говоря, необходимо уточнить понятие «размер» в маши­ностроении так, чтобы оно не противоречило понятию «размер физической величи­ны», принятому в метрологии. В ГОСТ 16263-70 дано четкое разъяснение по этому вопросу.

Количественная оценка конкретной физической величины, вы­раженная в виде некоторого числа единиц данной величины, на­зывается «значением физической величины».

Отвлеченное число, входящее в «значение» величины, называется числовым значением.

Между размером и значением величины есть принципиальная разница. Размер величины существует реально, независимо от то­го, знаем мы его или нет. Выразить размер величины можно при помощи любой из единиц данной величины, другими словами, при помощи числового значения.

Для числового значения характерно, что при применении дру­гой единицы оно изменяется, тогда как физический размер вели­чины остается неизменным.

Если обозначить измеряемую величину через x, единицу вели­чины - черезx 1 , а отношение их-через q 1 , то x = q 1 x 1  .

Размер величины xне зависит от выбора единицы, чего нель­зя сказать о числовом значении q , которое целиком определяется выбором единицы. Если для выражения размера величиныxвме­сто единицыx 1  применить единицуx 2  , то неизменившийся размерxбудет выражен другим значением:

x = q 2 x 2  , гдеn 2 n 1 .

Если в приведенных выражениях применять q= 1, то размеры единиц

x 1 = 1x 1 иx 2 = 1x 2 .

Размеры разных единиц одной и той же величины различны. Так, размер килограмма отличается от размера фунта; размер метра-от размера фута и т. п.

1.6. Размерность физических величин

Размерность физических величин- это соотношение между единицами величин, входящих в уравнение, свя­зывающее данную величину с другими величинами, через которые она выражается.

Размерность физической величины обозначается dimA (от лат. dimension –размерность ). Допустим, что физическая величинаА связана сX, Yуравнением A= F(Х, Y). Тогда величиныX, Y, А можно представить в виде

Х = х  [Х]; Y = y  [Y]; A = а  [A],

где А, X, Y - символы, обозначающие физическую вели­чину;а, х, y - числовые значения величин (безразмер­ные);[A]; [X]; [Y] - соответствующие единицы данных физических величин.

Размерности значений физических величин и их еди­ниц совпадают. Например:

A = X/Y; dim (a) = dim (X/Y) = [ Х ]/[Y].

Размерность - качественная характеристика физиче­ской величины, дающая представление о виде, природе величины, о соотношении ее с другими величинами, еди­ницы которых принимаются за основные.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того, знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

По традиционной программе в конце 4 класса дети должны:

Знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и уметь применять эти знания в практике измерения и при решении задач,

Знать взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость товара; скорость, время, расстояние, уметь применять эти знания к решению текстовых задач,

Уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата).

ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЁ ИЗМЕРЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Одна из особенностей окружающей нас действительности – это ее многообразное и беспрерывное изменение. Например, меняется погода, возраст людей, условия их жизни. Чтобы дать научное обоснование этим процессам, нужно знать их определение, свойства, качества, такие. Как время, площадь, масса… Эти и другие свойства называют величинами.

В соответствии с определением Н.Б. Истоминой:

Во-первых, величина - это некоторое свойство предметов.

Во-вторых, величина - это такое свойство предметов, которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим свойством в равной мере.

В-третьих, величина - это такое свойство, которое позволяет сравнивать предметы и устанавливать, какой из них обладает данным свойством в большей мере.

Величины бывают однородные и разнородные. Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и длина комнаты - это однородные величины. Разнородные величины выражают разные свойства объектов (например, длина и площадь).

Однородные величины обладают рядом свойств .

1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше», и для любых величин справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b . Например, если a - длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b=x * а, величину b называют произведением величины а на число x . Например, если a – длину отрезка АВ, умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС.

4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с , что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АС, b - длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b называется такое неотрицательное действительное число х , что

а= х*b. Чаще это число называют отношением величин а и b и записывают в таком виде:

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2, площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.

Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей - другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e , то в результате измерения величины а находят такое действительное число x , что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Согласно определению, любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7*1 кг, 12 см =12*1 см, 15ч =15*1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как 5/12 ч = 5/12*60 мин = (5/12*60) мин = 25 мин.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами . Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины . Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Из курса математики нам известны действия, которые можно производить над числами. Складывать, вычитать и сравнивать в математике можно любые числа. Такие действия над физическими величинами можно производить только в том случае, если они однородны, т. е. представляют одну и ту же физическую величину.

Например:

4 м + 3 м = 7 м;
9 кг - 5 кг = 4 кг;
30 с > 10 с.

Во всех трех случаях мы производили действия над однородными физическими величинами. Складывали длину с длиной, вычитали из массы массу, сравнивали промежуток времени с промежутком времени. Смешно и нелепо было бы складывать 4 м и 5 кг или вычитать 30 с из 9 кг!

А вот умножать и делить можно не только однородные, но и разные физические величины. Например:

1. 10 кг ÷2 кг = 5. Здесь делятся не только числовые значения (10 ÷ 2 = 5), но и единицы физических величин (кг ÷ кг = 1). Результат показывает, во сколько раз одна физическая величина (масса) больше другой.
2. 2 м. 4 м = 8 м 2 . Умножаются числовые значения (2 . 4 = 8) и единицы физических величин (м. м = м 2). В результате умножения двух физических величин - длин l 1 = 2 м и l 2 = 4 м - получилась новая физическая величина - площадь S = 8 м 2 .
3. 10 м ÷ 2 с = 5 м/с. В результате деления двух разных физических величин - длины l = 10 м на промежуток времени t = 2 с, получилась новая физическая величина 5 м/c. Ее числовое значение равно 5, а единица новой физической величины - м/c. Эта физическая величина v = 5 м/c - скорость.
4. 10 м ÷ 2 с = 20 м ÷ 4 с. Знак равенства относится не только к числовым значениям, но и к единицам. Знак равенства поставить нельзя, если сравнить 10 м ÷ 2 с и 20 м ÷ 4 мин. Здесь м/с ≠ м/мин.

Подумайте и ответьте

1. Что необходимо учитывать при сложении и вычитании физических величин? Каким будет результат их сложения и вычитания?
2. Какие физические величины можно сравнивать между собой? Приведите примеры.
3. Можно ли делить и умножать разные физические величины? Что получится в результате?
4. Определите, значение какой физической величины получится в результате:
   1. 40 с - 10 с;
   2. 40 c ÷ 10 c;
   3. 3 м. 4 м. 2 м;
   4. 120 км ÷ 2 ч.

Интересно знать!

Большие единицы времени - год и сутки - дала нам сама природа. Но час, минута и секунда появились благодаря человеку.

Принятое в настоящее время деление суток восходит к глубокой древности. В Вавилоне применялась не десятичная, а шестидесятеричная система счисления. Шестьдесят делится без остатка на 12, отсюда у вавилонян деление суток на 12 равных частей. В Древнем Египте было введено деление суток на 24 часа. Позже появились минуты и секунды. То, что в 1 часе 60 минут, а в 1 минуте 60 секунд, - также наследие шестидесятеричной системы Вавилона.

Определение единиц времени является очень важным. Основная единица времени - секунда - сначала была введена как 1/86400 доля суток, а затем из-за непостоянства суток - как определенная доля года. В настоящее время эталон секунды связан с частотой излучения атомов цезия.

В начальных классах опираются на так называемое «интуитивное» понятие величины. Под величиной понимают свойство предметов или явлений, по которому эти предметы или явления можно сравнивать с помощью слов «больше» или «меньше».

Позднее дети узнают, что величина – это такое свойство предметов, которое можно измерить.

Измерить величину – это значит, сравнить величину с однородной величиной, принятой за единицу и результат сравнения выразить числом.

Результат измерения записывается с помощью числа и мерки (единицы измерения): 5 см, 3кг, … Эти записи часто называют именованными числами .

Свойства величин :

Однородные величины можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить на число.

II. Задачи изучения величин в начальных классах.

В начальных классах изучают следующие величины и единицы их измерения: длина, масса, время, площадь, емкость (объем, вместимость), скорость.

Задачи изучения величин:

1. Познакомить детей с «интуитивным» понятием величины, с наиболее часто встречающимися величинами.
2. Познакомить детей с разными способами сравнения величин.
3. Познакомить детей с процессом измерения величины, записью результата измерения.
4. Познакомить детей с общепринятыми единицами измерения основных величин. По каждой величине ввести таблицу мер величины.
5. Научить выполнять операции с именованными числами: преобразовывать, сравнивать, складывать, вычитать, умножать, и делить на число.
6. Познакомить детей с измерительными приборами по каждой величине. Формировать навыки измерения величин. Формировать представления о точности измерения. Развивать чувственные представления детей (глазомер, чувство времени и т. д.).
7. Расширять представления детей об окружающем мире в процессе изучения величин.
8. Познакомить детей с историей измерения величин, со старинными мерами, с единицами измерения величин, принятыми в разных странах.
9. Научить решать задачи с использованием связей и зависимостей между величинами.

Все эти задачи реализуются в любой программе обучения детей математике.

III. Этапы формирования представлений о величине и единицах ее измерения.

Петерсон Л. Г., Истомина Н. Б., Аргинская И. И. отмечают, что, несмотря на различия между величинами, при изучении каждой величины можно выделить одни и те же этапы.

Анализ этапов по работе с величиной, предложенный данными авторами, позволяет выделить «обобщенные» этапы по работе с любой величиной (независимо от программы).

Натуральное число как мера величины

Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерением положительных скалярных величин - длин, площадей, масс, времени и др, поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и ее измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства , либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объектов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину, но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что разные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего не скажешь о форме - один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» - особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и длина комнаты - это величины одного рода.

Напомним основные положения, связанные с однородными величинами.

1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Другими словами, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А<В, А = В, А> В.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В и В < С, то А < С.

Так, если площадь треугольника F 1 меньше площади треугольника F 2 , и площадь треугольника F 2 меньше площади треугольника F 3 , то площадь треугольника F 1 меньше площади треугольника F 3 .

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода. Иными словами, для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например, если А - масса арбуза, а В - масса дыни, то С = А +В - это масса арбуза и дыни. Очевидно, что А+В = В+А и(А+В) + С = А+(В+С).

Разностью величин А и В называется такая величина

С = А - В, что А = В + С.

Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А>В.

Например, если А - длина отрезка а, В - длина отреза b, то С=А-В - это длина отрезка с (рис. 1).

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Более точно, для любой величины А и любого положительного действительного числа х существует единственная величина В =

х. А, которую называют произведением величины А на число х.

Например, если А - время, отводимое на один урок, то умножив А на число х = 3, получим величину В = 3·А - время, за которое пройдет 3 урока.

6. Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.

Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А: В, что А =х·В.

Так, если А - длина отрезка а, В - длина отрезка b (рис. 2) и отрезок А состоит из 4-х отрезков, равных b, то А:В = 4, поскольку А= 4·В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измерение из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обозначать ее буквой Е.

Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А - это значит найти такое положительное действительное число х, что А =х·Е .

Число х называется численным значением величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А=х·Е, то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х=m Е (А).

Например, если А - длина отрезка а, Е- длина отрезка b (рис.2), то А=а·Е. Число 4 - это численное значение длины А при единице длины Е, или, другими словами, число 4 - это мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины. Например, 2,7 кг = 2,7·кг; 13 см = 13·см; 16 с = 16·с.

Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить ч в минутах. Так как ч = · ч и час = 60 мин, то ч = ·60·мин = ( · 60) мин = 25 мин.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной .

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будет такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

А+В <=> m(А)+ m(В);

А<В <=> m (А)

А> В <=> m (А) > m (В).

Например, если массы двух тел таковы, что А =5 кг, В=3 кг, то можно утверждать, что А> В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то чтобы найти численное значение суммы А + В, достаточно сложить численные значения величин А и В:

А + В = С <=> m (А +В) = m (А) + m (В). Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = = (5 + 3) кг = 8 кг.

3. Если величины А и В таковы, что В= х·А, где х - положительное действительное число, и величина А измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число m (А):

В = х·А <=> m (В)=х·m(А).

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то В = 3А = 3· (2·кг) = (3·2)кг = 6 кг.

В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т.е. х·А. Но разрешается писать и так: Ах. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А·х.

Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали единицу массы -килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека - это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существуют зависимость, выражаемая формулой s = v·t.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода , или разнородными величинами . Так, например, длина и масса - это разнородные величины.